Задачи с решением. Спрос

1. Прямая и обратная функции спроса

Условие: Известно, что бесплатно потребители готовы приобрести 20 единиц блага; с каждым увеличением цены на 1 величина спроса падает на 2 ед. Запишите прямой и обратный вид функции спроса, описывающей данную ситуацию.

Решение: Так как изменение цены на 1 всегда изменяет Q на 2 ед., то мы имеем дело с функцией спроса линейного вида. (Прямой вид функции спроса - это зависимость величины спроса (Q) от цены (P) - Qd(P); а обратный вид функции наоборот - зависимость цены от величины спроса - Pd(Q)).

В общем виде прямая линейная функция спроса записывается как: Q_d(P) = a - bP, где a и b - это коэффициенты, которые нам необходимо найти. Нам известно, что при P = 0 величина спроса равна 20 ед., отсюда следует, что a = 20. При этом коэффициент b = 2. Таким образом, прямая функция спроса может быть записана, как Q_d(P) = 20 - 2P.

Чтобы получить обратную функцию спроса, выразим цену из полученного ранее выражения: P_d(Q) = 10 - 0,5Q. 

Ответ: Q_d(P) = 20 - 2P - прямая функция спроса; P_d(Q) = 10 - 0,5Q - обратная функция спроса.

Примечание: оба вида функции спроса одинаково часто используется при решении задач, однако, не беда, если вы забудете, какой из видов как называется.

2. Восстановление линейной функции спроса

Условие: При цене P₀ = 10 потребители хотят и могут купить 5 единиц продукции. Если цена возрастет на 50%, то величина спроса упадет на 40%. Запишите функцию спроса на данное благо, если известно, что она имеет линейный вид.

Решение: В общем виде функция спроса линейного вида может быть записана как Q_d(P) = a - bP, где a и b - это коэффициенты, которые нам необходимо найти. Так как у нас два неизвестных, то для их нахождения необходимо составить систему из минимум двух уравнений. Для этого найдем координаты (Q, P) двух точек, которые соответствуют данной функции спроса.

При P₀ = 10 потребители готовы купить 5 единиц блага, то есть величина спроса Q₀ равна 5 - это координаты первой точки. При росте цены на 50%, цена станет равна 15; а величина спроса после падения на 40% станет равна 3 ед. Таким образом, координаты второй точки - это (3, 15). Запишем систему уравнений:

5 = a - b*10

3 = a - b*15

Система решается при a = 9 и b = 0,4.

Ответ: Q_d(P) = 9 - 0,4P.

Примечание: это стандартный способ нахождения коэффициентов линейной функции спроса, который потребуется в большинстве задач, в которых не дано самой функции спроса, но указано, что она имеет линейную форму.

3. Построение графика линейной функции спроса

Условие: Даны функции спроса на некоторое благо: Q_d1(P) = 20 - 2P и P_d2(Q) = 5 - Q. Пусть спрос, выраженный первой функцией, уменьшился на 5 ед. при каждом уровне цены, а спрос, выраженный второй функцией, увеличился на 60%. Постройте на графике первональную и измененную функции спроса.

Решение: Для начала запишем функции спроса в прямом виде, то есть выразим Q через P: Q_d1(P) = 20 - 2P и Q_d2(Q) = 5 - P. Для построения любой линейной функции достаточно найти координаты двух точек. Чем дальше эти точки будут находиться друг от друга, тем точнее линию можно будет провести. Идеальный вариант, если мы найдем координаты пересечения наших линий с осями Q и P. Для этого подставляем в каждую функцию сначала Q = 0, а потом P = 0. Этот принцип хорошо работает при построении линейных функций спроса, в других случаях его применение может быть ограниченно:

Первая функция спроса:  если Q1 = 0, то     0 = 20 - 2P      2P = 20     P1 = 10 если P2 = 0, то     Q = 20 - 2*0      Q2 = 20 Координаты точек: (Q1;P1)=(0;10) (Q2;P2)=(20;0) На рисунке - красная линия D1

Вторая функция спроса:  если Q1 = 0, то     0 = 5 - P     P1 = 5 если P2 = 0, то     Q = 5 - 0      Q2 = 5 Координаты точек: (Q1;P1)=(0;5) (Q2;P2)=(5;0) На рисунке - синяя линия D2

Теперь найдем новые функции спроса, расчитанные с учетом изменений. Первый спрос уменьшился на 5 ед. при каждом значении цены, то есть Q^new_d1(P) = Q_d1(P) - 5: Q^new_d1(P) = 15 - 2P. На графике новая кривая спроса получена сдвигом первоначальной кривой влево на 5 ед. - это красная линия D₃. Второй спрос увеличился на 60% при каждом уровне цены. Так, при P¹ = 5 и Q¹ = 0 не произойдет никакого изменения, так как 60% от 0 составляет 0. При этом при P² = 0 и Q² = 5 изменение спроса будет максимальным и составит 0,6*5 = 3 ед. Таким образом, новая функция спроса будет Q^new_d2(P) = Q_d2(P) + Q_d2(P)*0,6: Q^new_d2(P) = 8 - 1,6P. Проверим полученный результат, подставив уже известные нам точки (0,5) и (8,0) в функцию. Все выполняется, на графике данный спрос отображен синей линией D₄.

Ответ: см. рисунок.

Примечание: