|
Теория к данной теме:
Задачи с решением. Эластичность спроса по цене
Базовые задачи по экономике
1. Линейная функция спроса
Условие: Дана функция спроса Qd(P) = 100 - 2P, найдите точечную эластичность спроса по цене при P0 = 20.
Решение: Мы можем сразу воспользоваться формулой точечной эластичности спроса по цене для непрерывного случая, так как нам известна функция спроса по цене: (1) Edp = Q'p*P0/Q0
Для формулы нам потребуется найти производную функции Qd(P) по параметру P: Q'p = (100 - 2P)'p = -2. Обратите внимание на отрицательный знак производной. Если закон спроса выполняется, то производная функции спроса по цене всегда должна быть отрицательной.
Теперь найдем вторую координату нашей точки: Q0(P0) = Q0(20) = 100 - 2*20 = 60.
Подставляем полученные данные в формулу (1) и получаем ответ: Edp = -2 * 20/60 = -2/3.
Ответ: -2/3
Примечание: при решении данной задачи мы можем также воспользоваться формулой эластичности спроса по цене для дискретного случая (см. задачу 5). Для этого нам потребуется зафиксировать координаты точки, в которой мы находимся: (Q0,P0) = (60,20) и просчитать изменение цены на 1%, согласно определению: (Q1,P1) = (59,6;20,2). Подставляем все это в формулу. Ответ получается аналогичным: Edp = (59,6 - 60)/(20.2 - 20) * 20/60 = -2/3.
2. Линейная функция спроса (общий вид)
Условие: Дана функция спроса Qd(P) = a - bP, найдите точечную эластичность спроса по цене при P = P0.
Решение: Опять воспользуемся формулой (1) точечной эластичности спроса по цене для непрерывного случая.
Производная функции Qd(P) по параметру P: Q'p = (a - bP)'p = -b. Знак опять отрицательный, это хорошо, значит мы не допустили ошибки.
Вторая координата рассматриваемой точки: Q0(P0) = a - b*P0. В случае, если в формуле присутствуют параметры a и b, не смущайтесь. Они выполняют роль коэффициентов функции спроса.
Подставляем найденные значения в формулу (1): (2) Edp = -b*[P0/(a-bP0)] Ответ: -(bP0)/(a-bP0)
Примечание: Теперь, зная универсальную формулу эластичности спроса по цене для линейной функции (2), мы можем подставить любые значения параметров a и b, а также координат P0 и Q0, и получить итоговое значение Edp.
3. Функция спроса с постоянной эластичностью
Условие: Дана функция спроса Qd(P) = 1/P, найдите точечную эластичность спроса по цене при P = P0.
Решение: Еще один очень распространенный вид функции спроса - гипербола. Каждый раз, когда спрос задается функционально, используется формула Edp для непрерывного случая: (1) Edp = Q'p*P0/Q0
Прежде, чем перейти к производной, необходимо подготовить исходную функцию: Qd(P) = 1/P = P-1. Тогда Q'p = (P-1)'p = -1*P-2 = -1/P2. При этом не забывайте контролировать отрицательный знак производной.
Подставляем полученный результат в формулу: Edp = -P0-2*[P0/(1/P0)] = - P0-2*P02 = -1
Ответ: -1
Примечание: Функции такого вида часто называются "функциями с постоянной эластичность", так как в каждой точке эластичность равняется постоянному значению, в нашем случае это значение равно -1.
4. Функция спроса с постоянной эластичностью (общий вид)
Условие: Дана функция спроса Qd(P) = 1/Pn, найдите точечную эластичность спроса по цене при P = P0.
Решение: В предыдущей задаче задана гиперболическая функция спроса. Решим ее в общем виде, когда степень функции задана параметром {-n}.
Запишем исходную функцию в виде: Qd(P) = 1/Pn = P-n. Тогда Q'p = (P-n)'p = -n*P-n-1 = -n/Pn+1. Производная отрицательна при всех неотрицательных P.
В таком случае эластичность спроса по цене будет: Edp = -nP-n-1*[P/(1/Pn)] = - nP-n-1*Pn+1 = -n
Ответ: -1
Примечание: Мы получили общий вид функции спроса с постоянной эластичностью по цене равной {-n}.
5. Эластичность спроса по цене (дискретный случай)
Условие: При дискретном случае не дано функции спроса и изменения происходят по точкам. Пусть известно, что если Q0 = 10, то P0 = 100, а при Q1 = 9, P1 = 101. Найдите точечную эластичность спроса по цене.
Решение: Используем формулу точечной эластичности спроса по цене для дискретного случая:
(3) Edp = ▲Q/▲P * P0/Q0 или Edp = (Q1 - Q0)/(P1 - P0) * P0/Q0 Подставляем в формулу наши значения и получаем: Edp = (9 - 10)/(101 - 100) * 100/10 = -1/1 *10 = -10.
Обязательно убеждаемся, что полученно значение эластичности спроса по цене неположительно. Если оно положительное, то 98%, что вы допустили ошибку в вычислениях и 1%, что вы имеете дело с функцией спроса, для которой нарушается закон спроса.
Ответ: -10
Примечание: Согласно определению эластичности использование данной формулы возможно только при незначительном изменении цены (в идеале не больше 1%), во всех других случаях рекомендуется использовать формулу дуговой эластичности.
6. Восстановление функции спроса через эластичность
Условие: Пусть известно, что если Q0 = 10, то P0 = 100, а значение эластичности в этой точке равно -2. Восстановите функцию спроса на данное благо, если известно, что она имеет линейный вид.
Решение: Введем функцию спроса в линейном виде: Qd(P) = a - bP. В таком случае, в точке (Q0, P0) эластичность будет равна Edp = -b * P0/Q0: Edp = -b * 100/10 = - 10b. Через это соотношение находим, что b = 1/5.
Чтобы найти параметр a, снова используем координаты точки (Q0, P0): 10 = a - 1/5*100 --> a = 10 + 20 = 30.
Ответ: Qd(P) = 30 - 1/5P.
Примечание: По схожему принципу можно восстановить функцию спроса с постоянной ценовой эластичностью.
База задач будет постоянно пополняться
Переход к задачам на Эластичность спроса по доходу
Обсуждение задач на форуме
|
|